ระดับมัธยมศึกษา

สมบัติแฟกทอเรียล

แฟกทอเรียลเป็นหนึ่งในตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มเข้ามาในระดับชั้นมัธยมศึกษาที่สำคัญมากๆ
นิยามของแฟกทอเรียล
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n" สมบัติแฟกทอเรียล

$$\clubsuit\;สมบัติ$$
$$1.\;n!=n(n-1)(n-2)...\times 1$$
$$2.\;0!=1$$

สมบัติของซิกม่า

ซิกม่าถือว่าเป็นตัวชูโรงสำหรับวงการคิดเลขเร็วเลยก็ว่าได้เพราะสามารถทำให้เลขน้อยๆกลายเป็นเลขสูงๆได้

$$\clubsuit\;สมบัติ$$
$$1.\;\sum_{i=1}^{n}(i)=\frac{n(n+1)}{2}$$
$$2.\;\sum_{i=1}^{n}(i\times i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$3.\;\sum_{i=1}^{n}(i^3)=\left(\sum_{i=1}^{n}(i)\right)^2$$
$$4.\;\sum_{i=n}^{m}(\frac{i}{i})=m-n+1$$
5.จากข้อที่ 1. สูตรจะใช้ไม่ได้หาก i ไม่เท่ากับ 1
6. จากข้อ 1 ซิกม่าจะแบ่งเป็น 3 ส่วน 1).จุดเริ่มต้น(i=1 ด้านล่าง) เป็นจุดที่บอกว่าเราต้องเริ่มบวกจากตัวไหน 2).จุดสิ้นสุด(n ด้านบน) เป็นจุดที่บอกว่าเราต้องบวกจนถึงตัวไหน 3).เงื่อนไข(i ตรงกลาง) เป็นตัวกำหนดว่าซิกม่าตัวนั้นต้องใช้กระบวนการบวกกันแบบใด เช่นตัวอย่างข้อที่ 2 จะเห็นว่าเงื่อนไขคือ i คูณ i หมายความว่าถ้าเราจะเริ่มบวกก็ต้องบวกตั้งแต่ (1*1)+(2*2)+(3*3) ไปเรื่อยๆจนถึง (6*6) เป็นต้น
7. การประยุกต์ซิกม่า ให้มองเงื่อนไขทุกอย่างให้อยู่ในรูป ระบบสมการ$$\sum_{i=1}^{2}(7(i+3))=\sum_{i=1}^{2}(7i+21)=63$$

แฟกทอเรียลและซิกม่าพื้นฐานทั้งหมดที่ควรรู้

แฟกทอเรียล

$$n$$	$$n!$$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040

ซิกม่า(i)พื้นฐาน

$$n$$	$$\sum_{i=1}^{n}(i)$$
$$2$$	$$3$$
$$3$$	$$6$$
$$4$$	$$10$$
$$5$$	$$15$$
$$6$$	$$21$$
$$7$$	$$28$$
$$8$$	$$36$$
$$9$$	$$45$$
$$10$$	$$55$$
$$11$$	$$66$$
$$12$$	$$78$$
$$13$$	$$91$$
$$14$$	$$105$$
$$15$$	$$120$$
$$16$$	$$136$$
$$17$$	$$153$$
$$18$$	$$171$$
$$19$$	$$190$$
$$20$$	$$210$$
$$21$$	$$231$$
$$22$$	$$253$$
$$23$$	$$276$$
$$24$$	$$300$$
$$25$$	$$325$$
$$26$$	$$351$$
$$27$$	$$378$$
$$28$$	$$406$$
$$29$$	$$435$$
$$30$$	$$465$$
$$31$$	$$496$$
$$32$$	$$528$$
$$33$$	$$561$$
$$34$$	$$595$$
$$35$$	$$630$$
$$36$$	$$666$$
$$37$$	$$703$$
$$38$$	$$741$$
$$39$$	$$780$$
$$40$$	$$820$$
$$41$$	$$861$$
$$42$$	$$903$$
$$43$$	$$946$$
$$44$$	$$990$$
$$45$$	$$1035$$

ซิกม่า(i+i)พื้นฐาน

$$n$$	$$\sum_{i=1}^{n}(i+i)$$
$$2$$	$$6$$
$$3$$	$$12$$
$$4$$	$$20$$
$$5$$	$$30$$
$$6$$	$$42$$
$$7$$	$$56$$
$$8$$	$$72$$
$$9$$	$$90$$
$$10$$	$$110$$
$$11$$	$$132$$
$$12$$	$$156$$
$$13$$	$$182$$
$$14$$	$$210$$
$$15$$	$$240$$
$$16$$	$$272$$
$$17$$	$$306$$
$$18$$	$$342$$
$$19$$	$$380$$
$$20$$	$$420$$
$$21$$	$$462$$
$$22$$	$$506$$
$$23$$	$$552$$
$$24$$	$$600$$
$$25$$	$$650$$
$$26$$	$$702$$
$$27$$	$$756$$
$$28$$	$$812$$
$$29$$	$$870$$
$$30$$	$$930$$
$$31$$	$$992$$

ซิกม่า(i*i)พื้นฐาน

$$n$$	$$\sum_{i=1}^{n}(i \times i)$$
$$2$$	$$5$$
$$3$$	$$14$$
$$4$$	$$30$$
$$5$$	$$55$$
$$6$$	$$91$$
$$7$$	$$140$$
$$8$$	$$204$$
$$9$$	$$285$$
$$10$$	$$385$$
$$11$$	$$506$$
$$12$$	$$650$$
$$13$$	$$819$$
$$14$$	$$1015$$

ซิกม่า(i!)พื้นฐาน

$$n$$	$$\sum_{i=1}^{n}(i!)$$
$$2$$	$$3$$
$$3$$	$$9$$
$$4$$	$$33$$
$$5$$	$$153$$
$$6$$	$$873$$
$$7$$	$$5913$$

ควรฝึกอย่างไร

1. สอนสมบัติทุกอย่างตามที่แนะนำข้างต้น

      จากสามหัวข้อที่ผ่านมา เป็นสมบัติหรือสิ่งพื้นฐานที่น้องๆควรจะรู้ติดตัวเอาไว้ หากไม่รู้หรือไม่แม่นสามหัวข้อที่กล่าวมา จะทำให้ทุกอย่างไปได้ช้า

2.ต้องจำสูตรยังไง มากน้อยแค่ไหน

      อีก 1 คำถามยอดฮิตสำหรับน้องๆและคุณครูหลายๆท่าน ในระดับประถมศึกษาตอนต้นนั้นสูตรที่เข้าถึงตัวน้องๆได้จะเป็นแค่สูตรเฉพาะเท่านั้น ถ้าถามผมว่ามันจำเป็นไหม ส่วนตัวผมให้ 50 50 แล้วกันครับ แบบรู้ก็ดี ถึงไม่รู้เราก็สามารถใช้พื้นฐานที่น้องขัดเกลามา สามารถนำมาประยุกต์ใช้ได้อีกครับ

3.การฝึกคิดเลขเร็วไม่ได้เก่งตามจำนวนข้อที่ฝึกไป

      คุณครูหรือน้องๆ หลายๆท่าน มักจะยึดติดกับการซ้อมตามจำนวนข้อ "ยิ่งฝึกเยอะ เดี๋ยวก็เก่งขึ้นเรื่อยๆ" ผมจะบอกว่าเป็นความเชื่อที่ไม่ถูกแต่ก็ไม่ได้ผิดซะทีเดียว การฝึกเยอะๆสำหรับผมมันเหมือนกับการนั่งทำอะไรซ้ำๆวนไปวนมาแบบไร้จุดหมาย เพราะเราไม่รู้ว่า "ต้องซ้อมเยอะแค่ไหนถึงจะเรียกได้เต็มปากว่า เก่ง" ซึ่งทางแก้ไขที่ผมจะแนะนำคือ "หาข้อง่ายๆครับ" ถ้าถามผมว่าทำไม ผมมองว่าถึงซ้อมข้อยากๆมันก็ได้แค่วิธีๆเดียว ไม่ได้ครอบคลุมทุกๆอย่าง กลับกันหากหาข้อที่ง่ายๆที่สามารถทำได้หลากหลายรูปแบบ หลากหลายคำตอบ และ หลากหลายวิธีทาง เราจะได้วิธีคิดที่หลากหลายรูปแบบและสามารถประยุกต์ต่อไปในวิธีเฉพาะทางต่อไปได้ครับ

4.คิดเลขเร็วเกณฑ์ราชภัฎนครสวรรค์

      เป็นอีก 1 สนามที่ดีมากๆในความคิดของผมเนื่องจากสนามนี้ถึงจะจำสูตรมากแค่ไหน สุดท้ายก็ต้องประยุกต์ในงานอยู่ดี ดังนั้นการจำสูตรจึงไม่ค่อยมีผลมากกับสนามนี้ อย่างที่เราทราบกัน สนามนี้จะมีความแปลกใหม่คือโจทย์ 2 ตัวหน้าบังคับคูณกัน และซิกม่าใช้ i ทั้งสมการได้ไม่เกิน 3 ตัว ซึ่งในปีพ.ศ.2567 โจทย์เปลี่ยนจากการบังคับคูณเป็นบังคับติดกัน ดังนั้นหมายความว่าเลขตัวแรกอาจจะเป็นได้ตั้งแต่ 1 จนถึง 99 เลย
      ซึ่งแนวทางการซ้อมในสนามนี้คือ สูตรคูณ จะเห็นผลมากๆในการแข่งขันสนามนี้เพราะในเมื่อเลขมันติดกันแล้ว การคิดแบบใช้ซิกม่าเป็นหลักมันจะยากขึ้น