พื้นฐาน

ระดับมัธยมศึกษา

ธรรมธร น้อยสง่า (แบงค์)

ผู้ก่อตั้ง Otaku_Kidlek

2 พฤษภาคม 2567

อ่าน ~7 นาที

สมบัติแฟกทอเรียล

แฟกทอเรียลเป็นหนึ่งในตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มเข้ามาในระดับชั้นมัธยมศึกษาที่สำคัญมากๆ

นิยามของแฟกทอเรียล

ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n

สมบัติแฟกทอเรียล

♣ สมบัติ
1.\;n!=n(n-1)(n-2)...\times 1
2.\;0!=1

สมบัติของซิกม่า

ซิกม่าถือว่าเป็นตัวชูโรงสำหรับวงการคิดเลขเร็วเลยก็ว่าได้เพราะสามารถทำให้เลขน้อยๆกลายเป็นเลขสูงๆได้

♣ สมบัติ
1.\;\sum_{i=1}^{n}(i)=\frac{n(n+1)}{2}
2.\;\sum_{i=1}^{n}(i\times i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
3.\;\sum_{i=1}^{n}(i^3)=\left(\sum_{i=1}^{n}(i)\right)^2
4.\;\sum_{i=n}^{m}(\frac{i}{i})=m-n+1
5. จากข้อที่ 1 สูตรจะใช้ไม่ได้หาก i ไม่เท่ากับ 1
6. จากข้อ 1 ซิกม่าจะแบ่งเป็น 3 ส่วน 1).จุดเริ่มต้น(i=1 ด้านล่าง) เป็นจุดที่บอกว่าเราต้องเริ่มบวกจากตัวไหน 2).จุดสิ้นสุด(n ด้านบน) เป็นจุดที่บอกว่าเราต้องบวกจนถึงตัวไหน 3).เงื่อนไข(i ตรงกลาง) เป็นตัวกำหนดว่าซิกม่าตัวนั้นต้องใช้กระบวนการบวกกันแบบใด เช่นตัวอย่างข้อที่ 2 จะเห็นว่าเงื่อนไขคือ i คูณ i หมายความว่าถ้าเราจะเริ่มบวกก็ต้องบวกตั้งแต่ (11)+(22)+(33) ไปเรื่อยๆจนถึง (66) เป็นต้น
7. การประยุกต์ซิกม่า ให้มองเงื่อนไขทุกอย่างให้อยู่ในรูป ระบบสมการ \sum_{i=1}^{2}(7(i+3))=\sum_{i=1}^{2}(7i+21)=63

แฟกทอเรียลและซิกม่าพื้นฐานทั้งหมดที่ควรรู้

แฟกทอเรียล

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040

ซิกม่า(i)พื้นฐาน

n	\sum_{i=1}^{n}(i)
2	3
3	6
4	10
5	15
6	21
7	28
8	36
9	45
10	55
11	66
12	78
13	91
14	105
15	120
16	136
17	153
18	171
19	190
20	210
21	231
22	253
23	276
24	300
25	325
26	351
27	378
28	406
29	435
30	465
31	496
32	528
33	561
34	595
35	630
36	666
37	703
38	741
39	780
40	820
41	861
42	903
43	946
44	990
45	1035

ซิกม่า(i+i)พื้นฐาน

n	\sum_{i=1}^{n}(i+i)
2	6
3	12
4	20
5	30
6	42
7	56
8	72
9	90
10	110
11	132
12	156
13	182
14	210
15	240
16	272
17	306
18	342
19	380
20	420
21	462
22	506
23	552
24	600
25	650
26	702
27	756
28	812
29	870
30	930
31	992

ซิกม่า(i*i)พื้นฐาน

n	\sum_{i=1}^{n}(i \times i)
2	5
3	14
4	30
5	55
6	91
7	140
8	204
9	285
10	385
11	506
12	650
13	819
14	1015

ซิกม่า(i!)พื้นฐาน

n	\sum_{i=1}^{n}(i!)
2	3
3	9
4	33
5	153
6	873
7	5913

ควรฝึกอย่างไร

1. สอนสมบัติทุกอย่างตามที่แนะนำข้างต้น

จากสามหัวข้อที่ผ่านมา เป็นสมบัติหรือสิ่งพื้นฐานที่น้องๆควรจะรู้ติดตัวเอาไว้ หากไม่รู้หรือไม่แม่นสามหัวข้อที่กล่าวมา จะทำให้ทุกอย่างไปได้ช้า

2. ต้องจำสูตรยังไง มากน้อยแค่ไหน

อีก 1 คำถามยอดฮิตสำหรับน้องๆและคุณครูหลายๆท่าน ในระดับประถมศึกษาตอนต้นนั้นสูตรที่เข้าถึงตัวน้องๆได้จะเป็นแค่สูตรเฉพาะเท่านั้น ถ้าถามผมว่ามันจำเป็นไหม ส่วนตัวผมให้ 50 50 แล้วกันครับ แบบรู้ก็ดี ถึงไม่รู้เราก็สามารถใช้พื้นฐานที่น้องขัดเกลามา สามารถนำมาประยุกต์ใช้ได้อีกครับ

3. การฝึกคิดเลขเร็วไม่ได้เก่งตามจำนวนข้อที่ฝึกไป

คุณครูหรือน้องๆ หลายๆท่าน มักจะยึดติดกับการซ้อมตามจำนวนข้อ "ยิ่งฝึกเยอะ เดี๋ยวก็เก่งขึ้นเรื่อยๆ" ผมจะบอกว่าเป็นความเชื่อที่ไม่ถูกแต่ก็ไม่ได้ผิดซะทีเดียว การฝึกเยอะๆสำหรับผมมันเหมือนกับการนั่งทำอะไรซ้ำๆวนไปวนมาแบบไร้จุดหมาย เพราะเราไม่รู้ว่า "ต้องซ้อมเยอะแค่ไหนถึงจะเรียกได้เต็มปากว่า เก่ง" ซึ่งทางแก้ไขที่ผมจะแนะนำคือ "หาข้อง่ายๆครับ" ถ้าถามผมว่าทำไม ผมมองว่าถึงซ้อมข้อยากๆมันก็ได้แค่วิธีๆเดียว ไม่ได้ครอบคลุมทุกๆอย่าง กลับกันหากหาข้อที่ง่ายๆที่สามารถทำได้หลากหลายรูปแบบ หลากหลายคำตอบ และ หลากหลายวิธีทาง เราจะได้วิธีคิดที่หลากหลายรูปแบบและสามารถประยุกต์ต่อไปในวิธีเฉพาะทางต่อไปได้ครับ

4. คิดเลขเร็วเกณฑ์ราชภัฏนครสวรรค์

เป็นอีก 1 สนามที่ดีมากๆในความคิดของผมเนื่องจากสนามนี้ถึงจะจำสูตรมากแค่ไหน สุดท้ายก็ต้องประยุกต์ในงานอยู่ดี ดังนั้นการจำสูตรจึงไม่ค่อยมีผลมากกับสนามนี้ อย่างที่เราทราบกัน สนามนี้จะมีความแปลกใหม่คือโจทย์ 2 ตัวหน้าบังคับคูณกัน และซิกม่าใช้ i ทั้งสมการได้ไม่เกิน 3 ตัว ซึ่งในปีพ.ศ.2567 โจทย์เปลี่ยนจากการบังคับคูณเป็นบังคับติดกัน ดังนั้นหมายความว่าเลขตัวแรกอาจจะเป็นได้ตั้งแต่ 1 จนถึง 99 เลย

ซึ่งแนวทางการซ้อมในสนามนี้คือ สูตรคูณ จะเห็นผลมากๆในการแข่งขันสนามนี้เพราะในเมื่อเลขมันติดกันแล้ว การคิดแบบใช้ซิกม่าเป็นหลักมันจะยากขึ้น

อยากลองฝึกตามบทความนี้?

เปิดหน้าสุ่มโจทย์ Otaku_Kidlek แล้วลงมือซ้อมได้เลย

ไปหน้าสุ่มโจทย์อ่านบทความอื่น

n	\sum_{i=1}^{n}(i+i)
2	6
3	12
4	20
5	30
6	42
7	56
8	72
9	90
10	110
11	132
12	156
13	182
14	210
15	240
16	272
17	306
18	342
19	380
20	420
21	462
22	506
23	552
24	600
25	650
26	702
27	756
28	812
29	870
30	930
31	992

n	\sum_{i=1}^{n}(i+i)
2	6
3	12
4	20
5	30
6	42
7	56
8	72
9	90
10	110
11	132
12	156
13	182
14	210
15	240
16	272
17	306
18	342
19	380
20	420
21	462
22	506
23	552
24	600
25	650
26	702
27	756
28	812
29	870
30	930
31	992

n	\sum_{i=1}^{n}(i+i)
2	6
3	12
4	20
5	30
6	42
7	56
8	72
9	90
10	110
11	132
12	156
13	182
14	210
15	240
16	272
17	306
18	342
19	380
20	420
21	462
22	506
23	552
24	600
25	650
26	702
27	756
28	812
29	870
30	930
31	992